1. De onvolledigheidsstelling van Gödel

Stellingen top 10

Wiskundige bewijzen zijn opgebouwd uit klassieke logische redeneringen. Uit enkele aannames wordt via logische gevolgtrekkingen een nieuwe stelling afgeleid. Deze gevolgtrekkingen, samen met de aannames, die we axioma's noemen, vormen wat we hier een theorie zullen noemen (de correctere maar meer technische benaming is formeel systeem). Verschillende theorieën hebben verschillende axioma's. Voorbeelden zijn de theorie van de natuurlijke getallen, van de Hilbertruimten, van de algebraïsch afgesloten velden, $\ldots$. Bij zo'n theorie zijn er nu twee belangrijke vragen. De onvolledigheidsstelling van Gödel, die uit twee delen bestaat, geeft op elk van deze vragen een antwoord.

Enerzijds is er de vraag of elke stelling die men kan formuleren binnen deze theorie ook bewezen of weerlegd kan worden. Met andere woorden, kan elke wiskundige uitspraak die correct is ook bewezen worden? De onvolledigheidsstelling zegt dat dit niet zo is. Er bestaan zinvolle uitspraken binnen een theorie die waar zijn, maar waarvan men de correctheid niet kan bewijzen (binnen deze theorie).

Een tweede belangrijk aspect van een theorie is de consistentie. Dit betekent dat men uit de axioma's geen tegenstrijdige uitspraken kan afleiden. Van elke theorie kan men zich nu afvragen of dit zo is en dit proberen te bewijzen. Men kan dus, vanuit de gegeven axioma's, proberen te bewijzen dat diezelfde axioma's niet tot een tegenspraak kunnen leiden. Ook hier zegt de onvolledigheidsstelling van Gödel dat dit niet kan. Het is onmogelijk om de consistentie van een theorie te bewijzen vanuit zijn eigen axioma's.

Na al deze voorgaande stellingen kan men zich afvragen welke er mogelijk nog beroemder, belangrijker of beruchter kan zijn dan de voorgaande. Maar dit is ze, dit en geen andere stelling is de onbetwistbare nummer één van de top 10 beroemdste, belangrijkste en beruchtste stellingen uit de wiskunde.

De onvolledigheidsstelling van Gödel is veruit de diepste stelling uit deze lijst. Ze gaat veel verder dan een gewone uitspraak over getalletjes of functietjes. Dit is een stelling over de wiskunde zelf, over de wiskunde als wetenschap. Ze ontrafelt de wiskunde, kijkt recht in haar hart, ontluikt haar diepste innerlijke mysteries. Als een therapeut treedt de onvolledigheidsstelling van Gödel in gesprek met de wiskunde en legt haar ziel voor een stukje bloot. Het is onmogelijk om in woorden te vatten hoe onvoorstelbaar dit resultaat is. Als wiskunde theologie was, dan zou Kurt Gödel, de Oostenrijker die deze stelling bewees in 1931, als niemand minder dan de persoon die sprak met God aanzien worden. Sterker nog, hij sprak niet alleen met God, hij slaagde erin om één van Gods grootste geheimen aan hem te ontlokken en publiek te maken voor de ganse mensheid.

En dat geheim is een duister geheim, dat vele volgelingen shockeert en gedesillusioneerd achterlaat. Voor 1931 waren vele wiskundigen er rotsvast van overtuigd dat de wiskunde een perfecte wetenschap was. Perfect in de zin dat zij een antwoord biedt op elk probleem dat wij mensen kunnen bedenken. Perfect in de zin dat zij vrij is van fouten, en dat wij altijd en overal op haar kunnen vertrouwen als objectieve en alles overziende rechter die finale vonnissen velt over waar en vals. De wiskunde als alleswetend en alles overziend. De grote Duitse wiskundige Gottfried Leibniz had als grote visie het oplossen van elk wiskundig probleem door rond de tafel te gaan zitten en te beginnen rekenen. Calculemus! Laat ons rekenen, was zijn leuze.

Maar het calculemus van Leibniz bestaat niet. Met de onvolledigheidsstelling van Gödel is dit geloof aan diggelen geslagen, gevallen en onherstelbaar uiteengespat in een zee van scherven. We weten nu dat de wiskunde niet voldoet aan deze eisen van perfectie. Ze biedt geen antwoord op elk probleem en we zullen nooit met onweerlegbare zekerheid kunnen vertrouwen op haar oordeel. Er zijn ondertussen ook al concrete voorbeelden gevonden van uitspraken over natuurlijke getallen die niet bewijsbaar zijn binnen de theorie van de natuurlijke getallen. Er zijn veel uitgebreidere theorieën nodig, meerbepaald over ordinaalgetallen, om ze te bewijzen. Toen Gödel zijn onvolledigheidsstelling voor het eerst presenteerde in een lezing, bracht hij een heuse aardbeving teweeg in de wiskundegemeenschap waarvan de naschokken nog lang voelbaar bleven.

De onvolledigheidsstelling van Gödel lijkt meer filosofisch dan wiskundig, en dat is ze in zeker opzicht ook. Maar ze vertelt ons meer over de wiskunde dan eender welke andere stelling. Het bewijs is zo fabelachtig dat het echt lijkt alsof Gödel uit het wiskundig paradijs is neergedaald om ons deze boodschap over te brengen. Het is schitterend, overweldigend, fantastisch. De flits van genialiteit die Gödel kreeg op het ogenblik dat het tot hem doordrong moet hem het gelukzaligste gevoel gegeven hebben dat een mens ooit heeft gekend. Het centrale idee, de zogenaamde Gödelnummering, is van een ongekende schoonheid, een prachtig kunstwerk van wiskundig denken en menselijk redeneren. Nooit eerder had men durven dromen dat het mogelijk was om dergelijke inzichten over de wiskunde aan de wiskunde zelf te onttrekken.

Net zoals het feit dat $\mathbb{R}$ overaftelbaar is, is de onvolledigheidsstelling van Gödel echter geen stelling die prachtige toepassingen heeft en vele vooruitgangen teweegbrengt binnen de wiskunde. Voor velen was het zelfs een bijzonder teleurstellend resultaat. Maar wat niemand zal tegenspreken, is dat de onvolledigheidsstelling van Gödel het mystieke van de wiskunde kracht bijzet en de status van de wiskunde als gecompliceerd, netelig web waarin het als nietige mens maar al te makkelijk is om gevangen te raken nogmaals met klank bevestigt. Er kan niets anders overblijven dan diepe verwondering, en diep respect voor deze wetenschap, die de verbeelding zo sterk blijft prikkelen.