Submitted by Robin Simoens on
De winnaars van de breinbreker van oktober zijn Yuxia Evens & Cédric Van Cauwenberghe! We belonen dit met een abonnement op het wiskundetijdschrift Pythagoras. We ontvingen ook correcte inzendingen van Robbe Bekaert, Steven Van Overberghe, Sebastian Petit, Yehia Abou Shady en Bart Van Gasse. Bedankt!
Oplossing:
Het is mogelijk om 86 stippen te plaatsen. We geven hier een constructie:
We plaatsen de stippen op 10 horizontale rechten, die op een bepaalde afstand van elkaar staan.
We beschouwen twee type manieren (soorten rechten) om stippen op een recht te plaatsen en geven ze ook een naam:
We plaatsen de stippen op 10 horizontale rechten, die op een bepaalde afstand van elkaar staan.
We beschouwen twee type manieren (soorten rechten) om stippen op een recht te plaatsen en geven ze ook een naam:
a: \(8\) stippen die op \(1.5\) meter van elkaar staan en de stippen aan de rand van de rechte staan op 0.75 meter van de rand van het vierkant. Merk op dat de stippen ook binnen het vierkant blijven want \(1.5 \cdot 7 + 2 \cdot 0.75 = 12\).
b: 9 stippen die op \(1.5\) meter van elkaar staan, de stippen aan de rand van de rechte staan op de rand van het vierkant. Merk op dat ook hier de stippen ook binnen het vierkant blijven want \(1.5 \cdot 8 = 12\).
In beide gevallen staan de stippen op een rechte elk \(1.5\) meter van elkaar.
We plaatsen nu 10 rechten van die rechten boven elkaar in de volgende volgorde: \(a, b, a, b, a, b, a, b, a, a\) zodat de afstand tussen twee opeenvolgende rijen \(\sqrt{3}\cdot 0.75\) meter is, als de rijen van verschillend type zijn en \(1.5\) meter als de twee rijen van hetzelfde type zijn. Merk op dat de rijen in het vierkant passen a.s.a. \( 8 \cdot \sqrt{3} \cdot 0.75 + 1.5 \leq 12\)
m.a.w. als 4 x √3 x ≤ 7 of dus 16 x 3 = 48 ≤ 49, wat voldaan is.
We tonen nu aan dat elk paar stippen op afstand ten minste 1.5 meter staat. Kies twee verschillende stippen A en B willekeurig. We onderscheiden 3 gevallen:
Geval 1: A en B zitten op dezelfde rechte, dat hebben we al bewezen.
Geval 2: A en B zitten op verschillende rechten van dezelfde soort dan is de afstand tussen die rechten ten minste min{1.5, 2√3 x 0.75} = 1.5 meter. Dus is ook de afstand tussen die stippen ten minste 1.5 meter.
Geval 1: A en B zitten op dezelfde rechte, dat hebben we al bewezen.
Geval 2: A en B zitten op verschillende rechten van dezelfde soort dan is de afstand tussen die rechten ten minste min{1.5, 2√3 x 0.75} = 1.5 meter. Dus is ook de afstand tussen die stippen ten minste 1.5 meter.
Geval 3: A en B zitten op rechten van verschillende soort. Dan berekenen we via de stelling Pythagoras dat hun afstand ten minste √(√3 x 0.75)^2 + 0.75^2)) = 1.5 meter is.
Hiermee is aangetoond dat alle stippen op afstand 1.5 meter van elkaar staan en zich binnen de vierkante zone bevinden.
Activiteiten: