Submitted by Jens Bossaert on
De winnaar van de eerste breinbreker dit jaar is Stijn Seghers, die hiermee een jaarabonnement wint op Pythagoras en Wiskunde & Onderwijs, twee wiskundetijdschriften. Onze felicitaties en veel leesplezier!
We ontvingen ook correcte oplossingen van Hannes Vandecasteele, Karsten Naert, Stijn Cambie, Jasmine Maes, Nelis Goeminne, Bart Michels en Ben De Bondt. Bedankt daarvoor!
Oplossing
We beschouwen eerst het tweedimensionaal probleem waarbij we de paal enkel over de grond mogen bewegen. We kunnen het grondvlak van het gangpad tekenen door de $x$-as en de $y$-as als buitenste muren te nemen, en de rechten $x=a$ en $y=b$ als binnenste muren (zie figuur). Een optimale manier om de paal door de hoek te manoeuvreren, is door het ene uiteinde langs de $x$-as en het andere langs de $y$-as te laten bewegen. Het kan dan nog gebeuren dat de paal tegen de hoek $(a,b)$ botst. We zoeken de kleinste lengte waarvoor dit gebeurt, dit zal dan de grootst mogelijke lengte zijn die nog kan passeren.
Beschouw dus een lijnstuk $[CD]$ door $(a,b)=A$ met uiteinden op de $y$- en $x$-as, noteer $x$ voor de $x$-coördinaat van $D$. De lengte van het stuk $[AD]$ kan gemakkelijk berekend worden met de stelling van Pythagoras: $\vert AD \vert=\sqrt{(x-a)^2+b^2}$. De lengte van $[CD]$ is dan $\tfrac{x}{x-a}\vert AD \vert$ (dit volgt bijvoorbeeld uit de gelijkvormigheid van de driehoeken $AED$ en $COD$), dus $\vert CD \vert=\sqrt{x^2+\tfrac{b^2x^2}{(x-a)^2}}$.
We zoeken dus het minimum van de functie $f(x)=\sqrt{x^2+\tfrac{b^2x^2}{(x-a)^2}}$ (voor $x>a$).
De afgeleide van $f$ is $f'(x)=\tfrac{2x+\tfrac{2xb^2}{(x-a)^2}-\tfrac{2x^2b^2}{(x-a)^3}}{2 \sqrt{x^2+\tfrac{x^2b^2}{(x-a)^2}}}$.
Deze is nul als $2x+\tfrac{2xb^2}{(x-a)^2}-\tfrac{2x^2b^2}{(x-a)^3}=0$, dus $(x-a)^3+b^2(x-a)-b^2x=0$, dus $(x-a)^3=b^2a$, dus $x=a+\sqrt[3]{b^2a}$. Voor deze $x$ bereikt een extremum, men gaat eenvoudig na dat dit extremum een minimum is. De waarde van dit minimum is $f(a+\sqrt[3]{b^2a})=(a+\sqrt[3]{b^2a})\sqrt{1+\tfrac{b^2}{\sqrt[3]{b^2a}^2}}=(a^{\tfrac{2}{3}}+b^{\tfrac{2}{3}})^{\tfrac{3}{2}}$.
Voor het tweedimensionale probleem is de paal dus maximaal $(a^{\tfrac{2}{3}}+b^{\tfrac{2}{3}})^{\tfrac{3}{2}}$ lang.
In het driedimensionale geval kunnen we ook nog de hoogte van de gang benutten. Met de stelling van Pythagoras vinden we onmiddellijk dat de maximale lengte gelijk is aan $\sqrt{(a^{\tfrac{2}{3}}+b^{\tfrac{2}{3}})^{3}+c^2}$.