Al enkele dingen om naar uit te kijken

Gepost op 8 jan 2012

PRIME wenst iedereen een mooi 2012 toe! Nu de jaarwisseling achter de rug is, wordt het ook tijd om enkele activiteiten uit het tweede semester aan te kondigen.

Problem-solvingavonden: we voorzien opnieuw vier problem-solvingavonden (psa's). Op deze gezellige avonden lossen we in groep wiskundige problemen op. Ook dit semester zullen de psa's telkens voorafgegaan worden door een boeiende babbel over een wiskundig onderwerp.

Spellenavond met toernooi: ook een spellenavond mag in dit semester niet ontbreken. Om er eens wat competitie in te steken, maken we er een heus toernooi van.

PUMA 2012: de PUMA is onze bekende jaarlijkse wiskundewedstrijd. Het doel is een fijne avond voor iedereen die houdt van uitdagende wiskundige problemen en raadsels.

Pi-zzafestijn: we kunnen pi-dag natuurlijk niet ongemerkt voorbij laten gaan. Daarom eten we traditioneel die dag met zijn allen pizza's in lokaal A3. Ook de resultaten van de PUMA zullen die dag bekend gemaakt worden.

Lezing: op 21 maart nodigen we Karsten Naert uit voor een lezing over "Jongleren met Wiskunde". Hij zal ons vertellen over de wereld van jongleerpatronen, bekeken door de ogen van een wiskundige.

Wie van wedstrijden houdt, houdt best ook de data van de Vlaamse Programmeerwedstrijd (18 april) en van LIMO 2012 (25 mei) vrij. Je kan alle data van onze activiteiten zien op onze kalender. Tot slot wensen we je nog veel succes met je examens!

PRIME Quiz

Gepost op 21 nov 2011 Quiz

We hopen dat alle deelnemers van de vierde PRIME Quiz genoten hebben. Wil je deze gezellige avond herbeleven dan vind je de vragen hier. De foto's vindt u hier, ook de uitslagen zijn beschikbaar.

COMA 2011

Gepost op 12 nov 2011 COMA

Wij hopen dat alle deelnemers van de COMA 2011 genoten hebben van de wedstrijd. De winnaars, de vragen en de oplossingen zijn hier te vinden en de foto's vind je hier.

Presentatie Banach-Tarskiparadox

Gepost op 10 nov 2011 Lezing

We hopen dat jullie gisterenavond genoten hebben van de lezing over de paradox van Banach en Tarski! De reacties achteraf waren alleszins zeer lovend over de uiteenzetting van Stefaan Vaes.

Wil je zijn presentatie nog eens bekijken? Dat kan hier.

Lezing door Stefaan Vaes

Gepost op 8 nov 2011 Lezing

Vanavond is iedereen welkom in auditorium Emmy Noether voor een lezing door topwiskundige Stefaan Vaes! Hij zal ons meenemen naar de wereld van de Banach-Tarskiparadox, een stelling die tegen elke intuïtie indruist. Deze beroemde stelling is een direct gevolg van een resultaat uit de analyse op oneindige groepen, een wiskundig terrein waarin Stefaan Vaes belangrijk onderzoek doet.

Stefaan Vaes is professor aan KULeuven en staat bekend als een boeiend spreker: zo werd hij vorig jaar uitgenodigd als spreker op het ICM in India en is hij geliefd onder de Leuvense studenten.

Winnaar Breinbreker September-Oktober

Gepost op 1 nov 2011 Breinbreker

De winnaar van de breinbreker van september-oktober is Tim Seynnaeve. Als prijs ontvangt hij een jaarabonnement op het tijdschrift Pythagoras en op het tijdschrijft Wiskunde & Onderwijs. Proficiat en veel leesplezier!

We kregen ook nog juiste inzendingen van Yannick Neyt, Dieter Verhofstadt, Thomas Cnops, Wouter Tierens en Karsten Naert. Bedankt voor jullie inzending!

Oplossing

Hij kan de kluis openen tenzij $m=1\neq n$ of $n=1\neq m$.

Antwoord

Het is triviaal dat hij de kluis kan openen voor $m=n=1$ en niet voor $m=1\neq n$ of $n=1\neq m$. We tonen nu aan voor $m>1$ en $n>1$ hij de kluis altijd kan openen.

We kunnen de operaties die we kunnen uitvoeren op de knoppen van de kluis voorstellen door $m\times n$-matrices (een $mn$-dimensionale $\mathbb{R}$-vectorruimte). Bijvoorbeeld: de operatie die we krijgen door een knop op positie $k,l$ te draaien over een willekeurige hoe $\alpha$ is een matrix met op op de $k$-de rij en op de $l$-de kolom $\alpha$ en $0$ elders. 
Het achtereenvolgens uitvoeren van 2 dergelijke komt overeen met de som nemen van de matrices.

Stelt men $\tau_{iklj}=\delta_{ik}+  \delta_{lj}-\delta_{ik}\delta_{lj}$ dan is de operatie die we krijgen door een knop op positie $k,l$ te draaien een veelvoud van de matrix $T_{kl}=(\tau_{iklj})_{ij} $.

Stel $T=\{T_{kl}|1\leq k\leq m,\; 1\leq l\leq n\}$. De span van $T$ is de ruimte van alle opertaties die we kunnen uitvoeren.

Zij $g,h$ de plaats van een willekeurige knop. Het volstaat nu om aan te tonen dat elke veelvoud van $E_{gh}=(\delta_{ig}\delta_{hj} )_{ij}$ (de rotatie van een kop op positie $g,h$ waarbij met alle andere knoppen niks gebeurt) een element van $\langle T \rangle$ is.

Zij $J=(1)_{ij}$ een matrix met enkel enen. $J\in  \langle T \rangle$ want $\sum_{k,l} T_{kl} = (m+n-1)J$.
Zij $R_g=(\delta_{ig})_{ij}$ een matrix met enen op de $g$-de rij en 0 elders. Dan $R_g \in \langle T \rangle$ want $\sum_{l} T_{gl}\;-J = (n-1)R_g\text{ en }n-1\neq0.$
Zij $K_h=(\delta_{hj})_{ij}$ een matrix met enen op de $h$-de kolom en 0 elders. Dan $K_h \in \langle T \rangle$ want $\sum_{k} T_{kh}\;-J = (m-1)K_h\text{ en }m-1\neq0.$
Nu kunnen we inzien dat   $E_{gh}\in\langle T \rangle$ want $E_{gh} = R_g+K_h-T_{gh}$.

Winnaar Breinbreker Mei

Gepost op 20 jun 2011 Breinbreker

De winnaar van de breinbreker van mei is Dries Maertens. Als prijs ontvangt hij een jaarabonnement op het tijdschrift Pythagoras en op het tijdschrijft Wiskunde & Onderwijs. Proficiat en veel leesplezier!

We kregen ook nog juiste inzendingen van Patrick Labarque, Serge Vereecken, Nils Van Dessel, Simon De Ridder, Dieter Plessers, Yannick Neyt, Stijn Cambie, Jonathan Leliaert, Annelies Cuvelier, Lander Bodyn, Thomas Mertens en Ben De Bondt. Bedankt voor jullie inzending!

Oplossing

Ja, hij kan ontsnappen.

Antwoord

Zij $r$ de straal van het meer. Als de student zich op een afstand kleiner dan $r/4$ van het middelpunt van het meer bevindt, kan hij sneller een volledig rondje afleggen dan het beest. Laat de student dus zwemmen tot afstand $r/4-\epsilon$ van het centrum van het meer en vervolgens rondjes zwemmen tot het beest diametraal aan de tegenovergestelde kant van het meer is. Als de student nu rechtstreeks naar de oever zwemt moet hij een afstand $3r/4+\epsilon$ afleggen. Het beest kan in de tijd dat de student naar de oever zwemt maar een afstand $3r+4\epsilon$ afleggen, wat, als men $\epsilon$ klein genoeg kiest, kleiner is dan de afstand die het beest moet afleggen om de student te bereiken: $\pi r$.

Fractalen

Gepost op 3 mei 2011 Workshop

Heb je de uiteenzetting rond fractalen gemist? Wil je de presentatie nog eens bekijken? Dat kan, want de presentatie staat nu online! Enkele van de filmpjes die getoond werden kan je online vinden. Hier vind je een filmpje over de problemen bij het meten van grenzen en kustlijnen, die ontstaan door het fractalkarakter ervan. Een deep zoom op de Mandelbrotverzameling kan je hier vinden.

Winnaar Breinbreker April

Gepost op 27 apr 2011 Breinbreker

De winnaar van de breinbreker van april is Wouter Van De Vijver. Als prijs ontvangt hij een jaarabonnement op het tijdschrift Pythagoras en op het tijdschrijft Wiskunde & Onderwijs. Proficiat en veel leesplezier!

We kregen ook nog juiste inzendingen van Yannick Neyt, Dieter Plessers, Serge Vereecken, Stijn Cambie en Ben De Bondt . Bedankt voor jullie inzending!

Oplossing

Peter is aan zet.

Antwoord

Bij een paardenzet wordt een paard verzet van een wit veld naar een zwart veld of omgekeerd. De pariteit van het aantal paarden op een wit veld verandert dus elke zet. Als op een zeker moment dezelfde velden als in het begin ingenomen worden door paarden, worden er ook evenveel witte velden door een paard ingenomen en moet dus de pariteit van het aantal paarden op een wit veld hetzelfde zijn als in het begin. Gezien de pariteit van dit aantal elke zet verandert moet men een even aantal zetten gedaan hebben. Dus is Peter aan zet.