De laatste breinbreker van 2019-2020, voor de maanden april-mei, heeft een winnaar! Shirin Abou shady wint dankzij haar mooie oplossing een jaarabonnement op het wiskundetijdschrift Pythagoras. We ontvingen ook correcte inzendingen van Stijn Cambie, Dieter Plessers, Bart Van Gasse, Sebastian Petit, Tim Decraene en Georgi Backlicharov & Jeroen van der Hooft. Proficiat aan allen!
Oplossing:
Stel dat de draak na een aanval van Hercules x koppen heeft. En zij y het natuurlijk getal dat het dichtst bij √x ligt. We tonen aan dat x + y nooit een volkomen kwadraat kan zijn. Door het afronden geldt er:
|√x - y| ≤ 1/2
⇒ y - 1/2 ≤ √x ≤ y + 1/2
⇒ (y - 1/2)2 ≤ x ≤ (y + 1/2)2
⇒ y2 - y + 1/4 ≤ x ≤ y2 + y +1/4
⇒ y2 + 1/4 ≤ x + y ≤ y2 + 2y + 1/4
⇒ y2 < x + y < y2 + 2y + 1
⇒ y2 < x + y < (y + 1)2
En bijgevolg ligt x + y altijd tussen 2 opeenvolgende kwadraten. x + y kan dus zelf nooit een volkomen kwadraat zijn waardoor Hercules het beest niet kan verslaan.
