Oplossing breinbreker Oktober 2016

Breinbreker

Dit antwoord werd ons ingezonden door Klaas Parmentier.

Door de keuze van de hoeken (60 en 120 graden) en de manir waarop de tegels aan de buitenkant moeten gelegd worden, is het duidelijk dat de drie afgebeelde ori├źntaties de enige mogelijke zijn. Noem het aantal in elke positie $a$, $b$ en $c$. Hierbij is $a$ de verticale positie, $b$ de positie met hoofddiagonaal van linksonder tot rechtsboven en $c$ de positie met hoofdiagonaal van linksboven tot rechtsonder. We trekken nu verschillende lijnen op vaste afstand $\sqrt{3}/2$ van elkaar, die allemaal parallel zijn met de 2 horizontale zijdes van de zeshoek. Deze lijnen verdelen we op in lijnstukken van lengte 1. We hebben in de totale zeshoek (reken de horizontale randen ook mee) een bepaald aantal horizontale lijnstukjes $x$. Deze moeten allemaal bedekt worden. Een verticaal blokje bedekt er 1, de rest elk 2. Dus $a+2b+2c=x$. Volg nu dezelfde redenering voor de 2 andere paren parallele randen (dus met lijnstukjes van linksonders naar rechtsboven en ook met lijnstukjes van rechtsonder naar linksboven). Dan krijgen we nog dat $2a+b+2c=x$ en $2a+2b+c=x$. Hieruit volgt $a=b=c$.

Alternatieve oplossing:

Probeer 3-dimensionaal te denken! Een tegelvullig van de zeshoek kan geïnterpreteerd worden als de opstapeling van kubusjes ... We laten het aan de lezer over om dit wiskundig formeel te vertalen.