Winnaar breinbreker april-mei

Breinbreker

Met genoegen delen wij mee dat de winaar van de laatste breinbreker van 2015-2016, voor de maanden april-mei, Steven Van Overberghe is. Hij wint een abonnement op de wiskundetijdschriften Pythagoras en Wiskunde en Onderwijs. Eveneens juiste inzendingen kregen we binnen van Bart Van Gasse, Sam Adriaensen, Dieter Plessers en Pieter Vyncke. Proficiat aan allen!

 

Oplossing:

Stel zonder verlies aan algemeenheid dat de zakjes gewicht $1$, $q$, $q^2$ en $q^3$ hebben, met $q\geq 1$

Stel nu dat $q >1$. Leg op beide kanten van de weegschaal twee zakjes. Dan zal het zwaarste zakje zich altijd in de zwaarste hoop bevinden. Immers, we hebben dat 

$q^3+q^2 = q^2(q+1) > q+1$

$q^3+q = q(q^2+1) > q^2+1$

$q^3+1-q^2-q = (q^2-1)(q-1) > 0$ dus $q^3+1 > q^2+q$

Na de eerste weging weten we dus al dat het zwaarste zakje één van de twee zakjes uit de zwaarste hoop is. Weeg nog een tweede maal deze twee zakjes en het zwaarste zakje is gevonden.

Als $q=1$ zijn alle zakjes even zwaar en zal een weging analoog aan de eerste weging bij het geval $q>1$ resulteren in twee even zware hopen, waaruit we kunnen besluiten dat alle zakjes evenveel wegen (als q>1 zou de ongelijkheid immers strikt zijn). 

In beide gevallen kunnen we dus het grootste zakje in twee wegingen achterhalen.