Winnaar Breinbreker april-mei

Gepost op 1 jul 2013 Breinbreker

Pieter Stroobant werd de winnaar van onze laatste breinbreker dit jaar. Hij wint een jaarabonnement op Pythagoras en Wiskunde & Onderwijs, twee wiskundetijdschriften. Onze felicitaties en veel leesplezier!

Ook Bert Seghers, Yannick Neyt en Joris Van Heesch zonden een correcte oplossing in. Bedankt daarvoor!

Oplossing

Vandaag is er echter niemand jarig. Hoe groot is de kans dat dit vandaag gebeurt?

De kans dat één vaste persoon vandaag niet jarig is, is $\frac{364}{365}$. Gezien verjaardagen van verschillende personen statistisch onafhankelijk zijn, is de kans dat er vandaag niemand jarig gelijk aan het product van de kansen dat elk lid vandaag niet jarig is. Die kans is dus $\left(\frac{364}{365}\right)^{450} \approx 0,29096$.

Het zou echter ook kunnen dat er elke dag iemand jarig is. Wat is de kans hiertoe?

We geven 2 mogelijke oplossingsmethode voor dit gedeelte:

Eerste methode: Een WiNA-kalender waarbij elke persoon een verjaardag heeft, komt overeen met een afbeelding van de verzameling van WiNA-leden (450 elementen), naar de verzameling van kalenderdagen (365 elementen). Zo zijn er $365^{450}$.

Er is elke  dag van het jaar iemand jarig precies als die afbeelding een surjectie is. We moeten dus het aantal surjecties tellen van een verzameling van $450$ elementen naar één van $365$ elementen. Dit aantal wordt gegeven door $S(450,365)365!$, waarbij $S(n,k)$ het Stirling-getal van de tweede soort is (dit geeft het aantal partities van een een verzameling van $n$ elementen in $k$ niet-ledige deelverzamelingen). Inderdaad: $S(450,365)$ geeft het aantal manieren om de $450$ leden in $365$ niet-ledige groepjes op te delen, en $365!$ geeft het aantal manieren om aan elk van die groepjes een verschillende dag van het jaar toe te wijzen.

De kans dat er elke dag van het jaar iemand verjaart, wordt dus gegeven door

$\frac{S(450,365)365!}{365^{450}} \approx 1.9168\cdot10^{-88}$

Tweede methode: Noem $A_i$ de gebeurtenis dat er op de $i$-de dag van het jaar niemand verjaart. Dan is de kans dat er een dag is waarop niemand verjaart, gelijk aan

$P(A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_{365})=\sum_{i=1}^{365}{P(A_i)}-\sum_{i<j}{P(A_i \cap A_j)}+\sum_{i<j<k}{P(A_i \cap A_j \cap A_k)} \] \[ -\cdots+(-1)^{n+1}\sum_{i_1<\cdots<i_n}{P(A_{i_1} \cap \cdots \cap A_{i_n})}+\cdots+P(A_1 \cap \cdots \cap A_{365})$

waarbij we het principe van inclusie-exclusie hebben toegepast.

$P(A_{i_1} \cap \cdots \cap A_{i_n})$ is de kans dat er op geen van de $n$ dagen $i_1$, $i_2$, ..., $i_n$ iemand verjaart. Deze kans is (met een analoge redenering als deelvraag 1) $(\frac{365-n}{365})^{450}$. Gezien de som $\sum_{i_1<\cdots<i_n}{P(A_{i_1} \cap \cdots \cap A_{i_n})}$ $365 \choose n$ termen bevat (het aantal manieren om de $n$ dagen $i_1$, ..., $i_n$ te kiezen), vinden we dat de kans er een dag is waarop niemand verjaart, gelijk is aan

$\sum_{n=1}^{365}{(-1)^{n+1}{365 \choose n}\left(\frac{365-n}{365}\right)^{450}}$.

De kans dat er elke dag iemand jarig is, is dan 1 min deze kans; dit is ongeveer gelijk aan $1.9168\cdot10^{-88}$.