Winnaar breinbreker februari-maart

Breinbreker

De winnaar van de breinbreker februari-maart is Art Waeterschoot. Proficiat! We belonen dit met een abonnement op de wiskundetijdschriften Pythagoras en Wiskunde en Onderwijs. Andere correcte inzendingen ontvingen we van Dieter Plessers, Stijn Cambie en Bart Van Gasse.

Oplossing

Ze bouwden even veel torens. Om dit te bewijzen leggen we een bijectie tussen de torens van Ben die met een geel blokje beginnen—noem deze verzameling G—enerzijds en de torens van Bart—zeg B—anderzijds. Omdat er met getallen gemakkelijker valt te rekenen dan met kleuren, noteren we even 0 voor geel, 1 voor rood en 2 voor blauw. Een toren is nu voor te stellen als een eindige rij cijfers. We beelden een toren $(0,a_1,a_2,a_3,\ldots,a_{2014})$ in G nu af op de toren $(a_1,a_2-a_1,a_3-a_2,\ldots,a_{2014}-a_{2013})$ waarbij de aftrekking modulo 3 wordt genomen. Deze afbeelding is duidelijk bijectief; rest nog aan te tonen dat het beeld van een toren in G wel degelijk in B bevat zit. Veronderstel van niet, m.a.w. dat er twee opeenvolgende nullen voorkomen in het beeld van een toren in G. Dan is $a_k=a_{k+1}=a_{k+2}$ voor zekere $k$, zodat de oorspronkelijke toren toch niet in G zit; contradictie.