Winnaar breinbreker november-december

Breinbreker

Het nieuwe jaar is begonnen, en PRIME deelt direct een cadeautje uit aan de winnaar van de laatste breinbreker. De gelukkige is Bart Michels, die een jaarabonnement wint op de wiskundetijdschriften Pythagoras en Wiskunde & Onderwijs! Proficiat, en veel wiskundig leesplezier in 2014.

We ontvingen ook een correcte inzending van Stijn Cambie, en C├ędric Ally gaf een correcte oplossing voor de tweede deelvraag. Bedankt voor jullie deelname!

Oplossing

  1. Het antwoord is drie minuten.

    Drie minuten is een bovengrens: stel namelijk dat zijn snelste kilometer strikt langer duurde dan 3 minuten, dan deed hij zeker meer dan 3 minuten over de eerste kilometer, en ook over de tweede, derde en vierde kilometer. Dan liep hij dus al meer dan 12 minuten over de eerste 4 kilometer, wat in tegenspraak is met het gegeven.

    Die bovengrens kan ook "bereikt" worden: stel dat onze held afwisselend 990 meter loopt aan oneindige snelheid, en dan 3 minuten uitrust. Dan legt hij de volledige ronde af in 12 minuten, en doet hij (bijvoorbeeld) de eerste kilometer in 3 minuten.

    (Opmerking: we hebben hier verondersteld dat onze superheld aan oneindige snelheid kan lopen. Als je de iets minder onrealistische onderstelling maakt dat hij wel willekeurig maar niet oneindig snel kan lopen, dan worden die 3 minuten een supremum dat niet bereikt kan worden.)
  1. Het antwoord is $\tfrac{12000}{4950}$ minuten, of zo'n 2 minuten en 25 seconden.

    Deze tijd kan bereikt worden: als hij het rondje aan constante snelheid loopt, dan is die snelheid $\tfrac{4950}{12}$ meter per minuut. Over elke kilometer doet hij dan $1000 \times \tfrac{12}{4950}$ minuten.

    Deze tijd is een bovengrens: stel namelijk dat er manier is om de snelste kilometer in (strikt) meer dan $\tfrac{80}{33}$ minuten te lopen. Laat de held dan 20 rondes na elkaar lopen aan deze snelheid. De totale afstand is dan 99 kilometer, en daar doet hij 240 minuten over. Wegens onze onderstelling duurt de eerste kilometer langer dan $\tfrac{80}{33}$ minuten, net als de tweede, derde, etc. De volledige 20 toeren duurden dan strikt langer dan $99\times\tfrac{80}{33}$ minuten, in tegenspraak met de exact 240 minuten die we eerder bekwamen.