Submitted by Jens Bossaert on
De winnaar van de breinbreker november–december is Thomas Delva. Proficiat! We belonen dit met een abonnement op de wiskundetijdschriften Pythagoras en Wiskunde en Onderwijs wint. Andere correcte inzendingen ontvingen we van Dieter Plessers, Stijn Cambie en Erik Rijcken.
Oplossing
Bekijk alle koppels (p, q) bestaande uit twee personen die met elkaar praten. Het aantal dergelijke koppels waarvoor p een jongen is, is gelijk aan het aantal gesprekken tussen een jongen en een meisje (wanneer q een meisje is) plus tweemaal het aantal gesprekken tussen twee jongens (wanneer q ook een jongen is). Elk gesprek tussen twee jongens p en q wordt immers twee keer geteld: met het koppel (p, q) en met (q, p). Analoog is het aantal koppels waarvoor p een meisje is gelijk aan het tweemaal het aantal gesprekken tussen twee meisjes plus het aantal gesprekken tussen een jongen en een meisje. Het gestelde is dus equivalent met de uitspraak dat het aantal koppels (p, q) met p een jongen gelijk is aan het aantal koppels (p, q) met p een meisje, of nog: het aantal gesprekken waarin een jongen deelneemt, gesommeerd over alle jongens, is gelijk aan het aantal gesprekken waarin een meisje deelneemt, gesommeerd over alle meisjes. Noem deze grootheden respectievelijk J en M.
We voeren nu enkele schijngesprekken in: wie vooraan zit, laten we telepathisch communiceren met de persoon in diezelfde rij die helemaal achteraan zit. Wie zich volledig rechts in het auditorium bevindt, sms't met de persoon in diezelfde rij die helemaal links zit. Op deze manier voert iedereen precies vier gesprekken. Omdat in elke rij evenveel meisjes als jongens zitten, zijn er in totaal ook evenveel jongens als meisjes aanwezig (de gastspreker niet meegeteld). Het aantal (schijn)gesprekken dat een meisje voert, gesommeerd over alle meisjes is dus gelijk aan diezelfde grootheid voor het andere geslacht. Noem die aantallen X en Y. We bekijken nu wat het aandeel van de schijngesprekken is: in de rechtse kolom zitten evenveel jongens als meisjes, en evenzo in de linkse kolom. Als het sms'en wordt verboden zal van X en Y eenzelfde aantal afgetrokken worden, namelijk de lengte k van een kolom. Op de eerste en laatste rij zitten ook evenveel jongens als meisjes. Verbieden we bovendien elke vorm van telepathie, dan wordt van X en Y terug eenzelfde aantal afgetrokken, namelijk de lengte r van een rij. Er geldt dus dat J = Y-k-r en M = X-k-r, zodat uit X = Y volgt dat J = M.