Submitted by Jens Bossaert on
We hebben goed nieuws voor Frederik Broucke, die als winnaar van de breinbreker september–oktober uit de bus komt en zo een abonnement op de wiskundetijdschriften Pythagoras en Wiskunde en Onderwijs wint. Proficiat namens het PRIME-bestuur!
We ontvingen ook correcte oplossingen van Dieter Plessers, Stijn Cambie, Art Waeterschoot, Lander Bodyn, Jozefien D'haeseleer, Simon Van den Eynde en David Vandorpe, Katrijn Vandewalle en Jeroen Meulewaeter. Bedankt hiervoor!
Oplossing
We noemen a de zijdelengte van het gat en b de zijdelengte van de plaatjes. Indien b ≥ a/2 is het mogelijk om het gat te bedekken met slechts vier plaatjes: delen we het gat denkbeeldig op in vier even grote gelijkzijdige driehoeken met zijde a/2, dan kan elk van elk van die driehoeken bedekt worden door een plaatje. Zo wordt het gat volledig bedekt.
We tonen nu aan dat b < a/2 zich niet kan voordoen, m.a.w. dat het niet mogelijk is om het gat te bedekken met vijf plaatjes met zijdelengte b < a/2. Beschouw hiertoe de drie hoekpunten van het gat en de drie middens van de zijden van het gat. De afstand tussen elke twee van deze zes punten is minstens a/2. Het is onmogelijk dat een plaatje met zijde b twee van deze punten bedekt. Aangezien er slechts vijf plaatjes zijn, is er zeker één zo'n punt dat niet wordt bedekt door de plaatjes (sterker nog: er is een punt waarvoor alle punten binnen een afstand a/2 – b tot dat punt niet worden bedekt). Bijgevolg kan het gat niet helemaal bedekt worden.