Winnaar breinbreker september–oktober

Breinbreker

De winnaar van de breinbreker september-oktober is Pieter Vyncke. Proficiat! We belonen dit met een abonnement op de wiskundetijdschriften Pythagoras en Wiskunde en Onderwijs. Andere correcte inzendingen ontvingen we van Stijn Cambie, Bart Van Gasse, Dieter Plessers en Art Waeterschoot.

Oplossing

Emmy zal altijd zo’n stad vinden, wegens onderstaand argument.
Bekijk de steden als punten in het vlak. Stel dat Romania het punt A is, en kies willekeurig een ander punt B. Zij r de rechte AB en geef deze rechte een oriëntatie (bijvoorbeeld van A naar B). Zij L het aantal steden aan de linkerzijde van de rechte r en R aan de rechterzijde. Zij $d=L-R$. Laat de rechte nu roteren rond A en bekijk hoe d veranderd. Als de rechte 180° heeft gedraaid, verkrijgen we terug de rechte maar dan omgekeerd georiënteerd, en de waarde van d heeft nu een verschillend teken dan oorspronkelijk. omdat d met discrete stappen veranderd, moet er een moment hebben bestaan tijdens het roteren waarbij d=0.