Submitted by Roxanne Daelman on
De winnaar van de eerste breinbreker dit jaar is Yannick Neyt. Met zijn elegante oplossing wint hij een jaarabonnement op het wiskundetijdschrift Pythagoras. Van harte proficiat en veel leesplezier! We ontvingen ook correcte inzendingen van Louis Olyslager, Stijn Cambie, Shirin Abou Shady, Bart Van Gasse en Michiel Mestdagh. Bedankt!
Oplossing:
Petrus heeft gelijk: zo een duo bestaat altijd. Sterker nog, voor elke apostel bestaat er iemand met wie hij naar de bakker kan.
Kies daarvoor willekeurig een apostel, noem hem Simon. Zij V de verzameling van apostelen die Simon vertrouwt en W de verzameling van degenen die hij wantrouwt.
We bewijzen de uitspraak uit het ongerijmde: stel dat niemand met Simon brood kan halen. Dat wil zeggen dat er voor elke apostel iemand is die die apostel noch Simon vertrouwt. We krijgen dus: voor alle v in V, er bestaat wv in W waarvoor: w vertrouwt v niet en w vertrouwt Simon niet. Nu is |V|=8 en |W|=3, zodat de afbeelding f:V → W: v → f(v) = wv minstens één element 3 keer bereikt (duivenhokprincipe). Er is dus een apostel in W die naast Simon nog minstens 3 anderen wantrouwt. Een strijdigheid, want iedereen wantrouwt slechts 3 apostelen.