Wiskundige bewijzen zijn opgebouwd uit klassieke logische redeneringen. Uit enkele aannames wordt via logische gevolgtrekkingen een nieuwe stelling afgeleid. Deze gevolgtrekkingen, samen met de aannames, die we axioma's noemen, vormen wat we hier een theorie zullen noemen (de correctere maar meer technische benaming is formeel systeem). Verschillende theorieën hebben verschillende axioma's. Voorbeelden zijn de theorie van de natuurlijke getallen, van de Hilbertruimten, van de algebraïsch afgesloten velden, $\ldots$. Bij zo'n theorie zijn er nu twee belangrijke vragen.
We zijn aangekomen bij de onbetwistbare nummer één van de top 10 beroemdste, belangrijkste en beruchtste stellingen uit de wiskunde! Wie het aandurft kan er hier alles over lezen. Pas op diehard wiskundefanaten, PRIME is niet verantwoordelijk voor eventuele trauma's. Je bent gewaarschuwd!
Als in een rij dominostenen de eerste steen omgegooid wordt, volgt de rest. Zo werkt ook het principe van volledige inductie. Veronderstel dat men wil bewijzen dat een bepaalde eigenschap of formule geldt voor alle natuurlijke getallen $n$. Dan moet men twee dingen bewijzen. Eerst en vooral dat het geldt voor het getal $1$, de eerste dominosteen. Daarna moet men bewijzen dat alle dominostenen dicht genoeg bij elkaar staan zodanig dat als er één omvalt, ook de volgende de grond zal raken. Men moet bewijzen dat als de eigenschap geldt voor een getal $k$, dan ook voor het getal $k+1$.
De centrale limietstelling is een stelling uit de statistiek. Zeer bekend is de normale verdeling. Haar grafiek wordt ook wel de klok van Gauss genoemd. Wanneer men nu een random steekproef neemt van onafhankelijke variabelen met dezelfde verdeling, dan zegt de centrale limietstelling dat het gemiddelde van deze steekproef bij benadering normaal verdeeld zal zijn. Dus als men steeds opnieuw een steekproef neemt met dezelfde grootte, en telkens het gemiddelde optekent, bekomt men bij benadering de grafiek van een normale verdeling. Hoe groter de steekproef, hoe beter de benadering.
Priemgetallen zijn natuurlijke getallen die geen echte delers hebben. Ze zijn dus niet op te splitsen in het product van twee andere getallen verschillend van 1. Getallen die geen priemgetal zijn hebben deze eigenschap wel. Je kan ze schrijven als het product van twee echte delers. Zo is $78$ bijvoorbeeld gelijk aan $6 \cdot 13$, maar $13$ is een priemgetal en niet verder op te delen. $6$ kan wel nog geschreven worden als $2 \cdot 3$. Dus uiteindelijk schrijven we $78$ als $2 \cdot 3 \cdot 13$, een product van drie priemgetallen.
Het keuzeaxioma is één van de axioma's uit de verzamelingenleer. Stel dat we een willekeurig aantal nietlege verzamelingen krijgen. Dan, zegt het keuzeaxioma, bestaat een verzameling $Y$, die uit elk van deze verzamelingen precies één element bevat. Krijgen we dus een willekeurig aantal dozen die niet leeg zijn, dan kunnen we uit elke doos een voorwerp kiezen en deze allemaal samen in een nieuwe doos steken.
Een verzameling $X$ heet aftelbaar indien het mogelijk is een rij $x_0, x_1, x_2, \ldots$ op te schrijven waarin elk element van $X$ voorkomt. Van een aftelbare verzameling kan je alle elementen dus na elkaar opsommen (ook al duurt dit oneindig lang). De verzameling $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots \}$ van de natuurlijke getallen is bijvoorbeeld aftelbaar. Als dit niet mogelijk is, noemen we $X$ overaftelbaar. Dit betekent dat, in elke dergelijke opsomming, er steeds een element over het hoofd gezien wordt.
De laatste stelling van Fermat zegt dat als $a, b, c, n$ natuurlijke getallen zijn die voldoen aan de vergelijking $a^n + b^n = c^n$, dat dan $n \leq 2$. Met andere woorden, de vergelijking $a^n + b^n = c^n$ heeft geen oplossingen $(a,b,c)$ als $n > 2$. Er bestaan geen natuurlijke getallen $a, b, c$ zodat $a^3 + b^3 = c^3$ of $a^4 + b^4 = c^4$ of $a^5 + b^5 = c^5$, enzovoort. Voor $n = 2$ (en natuurlijk ook $n = 1$) bestaan er wel zo'n getallen, bijvoorbeeld $3^2 + 4^2 = 5^2$ of $5^2 + 12^2 = 13^2$.
De stelling van Taylor handelt over afleidbare functies. De eenvoudigste afleidbare functies zijn veeltermen, dit zijn functies van de vorm $f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \ldots + a_nx^n$ met $n$ een natuurlijk getal en $a_0, a_1, \ldots, a_n \in \mathbb{R}$. De stelling van Taylor zegt nu dat elke andere afleidbare functie rond een punt willekeurig dicht benaderd kan worden door een veelterm. Men kan dus een veelterm opstellen die in de buurt van een bepaald punt bijna gelijk is aan de oorspronkelijke functie. Deze wordt de Taylorbenadering genoemd.
Tertium non datur oftewel de wet van de uitgesloten derde is het logische principe dat zegt dat voor elke uitspraak $P$, ofwel $P$ ofwel $\neg P$ (niet $P$) geldig is. Elke uitspraak is dus ofwel waar, ofwel vals.
