Winnaar Breinbreker Februari-Maart

De winnaar van de breinbreker van september-oktober is Dieter Verhofstadt. Als prijs ontvangt hij een jaarabonnement op het tijdschrift Pythagoras en op het tijdschrijft Wiskunde & Onderwijs. Proficiat en veel leesplezier! Je kan zijn antwoord hieronder lezen.

We kregen ook nog juiste inzendingen van Ben De Bondt, Jasmine Maes, Tim Seynnaeve, Matthias Van Campen, Genia Rappé, Reinout D'Haene, Pieter Stroobant, Arne Gouwy, Karsten Naert en Sander Hendrick. Bedankt voor jullie inzending!

Oplossing

De overlevingskans van Galois is 103/207.

Antwoord

Noem de wiskundigen $G$ (Galois), $A$ (de schutter die na Galois komt) en $B$ (de derde). Eerst merken we op dat de driehoeksituatie niet symmetrisch is voor $A$ en $B$. Omdat de volgorde $GABGAB$... is, is $G$ aan de beurt als $B$ mist, terwijl $B$ aan de beurt is als $A$ mist. We bekijken nu de resultaten van onderlinge duellen, als de overige reeds uitgeschakeld is.

1-1 situaties

We noemen $P(X)$ de overlevingskans van $X$. Als $X$ aan de beurt is tegen $Y$, en hun raakkansen zijn $p$ en $q$ dan is

$P(X) = p + (1-p) q p + (1-p)^2 q^2 p + \dots + [(1-p)q]^n p + \dots = \frac{p}{1 – (1-p)q}$

Er zijn drie gevallen:

  1. Als $A$ begint tegen $B$, dan is $p = q = \frac{3}{4}$ en dus $P(A) = \frac{4}{5}$ en $P(B) = \frac{1}{5}$.
  2. Als $A$ begint tegen $G$, dan is $p= \frac{3}{4} en q=\frac{1}{2}$ en dus $P(A) = \frac{6}{7}$ en $P(G) = \frac{1}{7}$.
  3. Als $G$ begint tegen $A$, dan is $p = \frac{1}{2}$ en $q = \frac{3}{4}$ en dus $P(G) = \frac{4}{7}$ en $P(A) = \frac{3}{7}$.

Dit alles is wel symmetrisch voor A en B. Strategische gevolgen voor de driehoeksituatie:

Als $A$ of $B$ aan de beurt zijn in de driehoeksituatie, kunnen ze kiezen om $G$ uit te schakelen of de andere. Als ze slagen, dan is hun overlevingskans respectievelijk $\frac{1}{5}$ en $\frac{3}{7}$. Andere kansen kunnen niet groter worden dan $\frac{3}{7}$, omdat de gebeurtenissen disjunct zijn en $\frac{1}{5} + \frac{3}{7} + \frac{3}{7} > 1$.

$A$ en $B$ zullen dus altijd voor elkaar kiezen in de driehoekssituatie. Voor $G$ maakt het niet uit, dus de kans dat die $A$ kiest of $B$ is $\frac{1}{2}$.

We noteren nu $P(X)$ als de kans dat $X$ overleeft in de driehoeksituatie en $P(X|Y)$ als de kans dat $X$ overleeft als $Y$ aan de beurt is.

$x = P(G|G)$
$y = P(G|A)$
$z = P(G|B)$

We gaan ervan uit dat strootje trek de eerste schutter met gelijke kans aanduidt, dus $P(G) = \frac{1}{3} (x + y + z)$. Hierna volgen $x$, $y$ en $z$ door recursieve berekening en oplossing van een $3$ op $3$-stelsel.

$x = \frac{1}{2} \frac{1}{7} + \frac{1}{2} y = \frac{1}{14}+ \frac{1}{2} y \Rightarrow 14x = 7y + 1$
$y = \frac{3}{4} \frac{4}{7} + \frac{1}{4} z = \frac{3}{7} + \frac{1}{4} z \Rightarrow 28y = 7z + 12$
$z = \frac{3}{4} \frac{4}{7} + \frac{1}{4} x = \frac{3}{7} + \frac{1}{4} x \Rightarrow 28z = 7x + 12$

Dus:

$224x = 112y + 16$
$112y = 28z + 48$
$28z = 7x + 12$

Dus:

$224x = ((7x + 12) + 48) + 16$
$217x = 76$

Dus:

$x = \frac{76}{217}$
$z = \frac{3}{7} + \frac{19}{217} = \frac{112}{217}$
$y = \frac{3}{7} + \frac{28}{217} = \frac{121}{217}$

$P(G) = \frac{1}{3} \frac{309}{217} = \frac{103}{217}$

Het resultaat is niet intuïtief. De slechtste schutter heeft een overlevingskans van bijna 50%. Dit kunnen we verklaren doordat degene die het eerst raak schiet, zichzelf in een slechte positie plaatst in het daaropvolgende tweegevecht. Hoe beter je schiet, hoe groter de kans dat je eerst raak schiet, dus hoe hoger de kans op een nadelig tweegevecht.