Winnaar Breinbreker Februari-Maart

Breinbreker

De winnaar van de breinbreker van februari-maart is Stijn Cambie. Als prijs ontvangt hij een jaarabonnement op het tijdschrift Pythagoras en op het tijdschrijft Wiskunde & Onderwijs. Proficiat en veel leesplezier!

We kregen ook nog juiste inzendingen van Yannick Neyt, Serge Vereecken, Korneel Debaene en Wouter Van de Vijver. Bedankt voor jullie inzending!

Oplossing

$3^{2N-1}$

Antwoord

Men kan de mogelijke configuraties ook zien als elementen van een $N^2$-dimensionale vectorruimte over GF(3). De bereikbare configuraties zijn gegeven door $B + c_1R_1  + ... + c_N R_N + d_1 K_1 + ... + d_NK_N$, waarbij $B$ de beginsituatie is en $R_i$/$K_i$ de configuratie is met allemaal $1$'tjes in de rij/kolom $i$ en $c_i,d_i\in \mathrm{GF}(3)$. Men kan dan de dimensie van de deelruimte $\langle R_i,K_i , 1\leq i \leq N\rangle$ uitrekenen, deze is inderdaad $2N-1$. (Er bestaat minstens één lineaire combinatie , nl $\sum_i R_i - \sum_i K_i  = 0$. Als je er dan bvb. $R_1$ uit laat is de rest lineair onafhankelijk want als $\sum_{i>1} c_i R_i + \sum_i d_i K_i = 0$, dan moeten de elementen op de bovenste rij $0$ zijn, dus moeten alle  $d_i = 0$, dus moet alle $c_i = 0$.)