Winnaar Breinbreker November December

Breinbreker

De winnaar van de breinbreker van november-december is Yannick Neyt. Als prijs ontvangt hij een jaarabonnement op het tijdschrift Pythagoras en op het tijdschrijft Wiskunde & Onderwijs. Proficiat en veel leesplezier!

We kregen ook nog juiste inzendingen van Stijn Cambie, Jeroen Demeyer en Serge Vereecken. Bedankt voor jullie inzending!

Oplossing

Noem $r = p/q$, $p,q\in \mathbb Z$ en $t = (m+1)/2$.

Dan voldoen
  $a =  p^t q^{t-1}$
  $b = d  = pq$
  $c = p^{t-1} q^t$

$$ \frac{a^2 + b^m}{c^2 + d^m} = \frac{p^{m+1} q^{m-1} + p^m q^m }{  p^{m-1} q^{m+1} + p^m q^m} <br /> = \frac{p}{q} \frac{ p^m q^m + p^{m-1} q^{m+1}} { p^m q^m + p^{m-1} q^{m+1} } = \frac{p}{q} $$

Meer algemeen kunnen we makkelijk bewijzen dat elk rationaal getal kan geschreven worden als $\frac{a^k+b^\ell}{c^m+d^n}$ zodra $(k,m)=(\ell,n)=1$ (dus ook zodra $(k,n)=(\ell,m)=1$). Waarbij  $(x,y)$ de notatie is voor de grootste gemene deler van $x$ en $y$.

Substitueer daartoe $a = p^{\alpha_1}q^{\alpha_2}$, $b=p^{\beta_1}q^{\beta_2}$ enz. in de uitdrukking. We vinden iets van de vorm

$$ p^{\alpha_1 k}q^{\alpha_2 k+1} + p^{\beta_1\ell}q^{\beta_2\ell+1} = p^{\gamma_1 m+1}q^{\gamma_2 m} + p^{\delta_1n+1}q^{\delta_2 n} $$

Omdat $(k,m)=1$ heeft bestaan er gehelen $\alpha_1,\alpha_2,\gamma_1$ en $\gamma_2$ waarvoor $\alpha_1k - \gamma_1m = 1$ en $\gamma_2 m - \alpha_2 k = 1$  (dit is het lemma van Bézout); analoog voor $\beta_i$ en $\delta_i$.