Winnaar Breinbreker September-Oktober

Gepost op 1 nov 2011 Breinbreker

De winnaar van de breinbreker van september-oktober is Tim Seynnaeve. Als prijs ontvangt hij een jaarabonnement op het tijdschrift Pythagoras en op het tijdschrijft Wiskunde & Onderwijs. Proficiat en veel leesplezier!

We kregen ook nog juiste inzendingen van Yannick Neyt, Dieter Verhofstadt, Thomas Cnops, Wouter Tierens en Karsten Naert. Bedankt voor jullie inzending!

Oplossing

Hij kan de kluis openen tenzij $m=1\neq n$ of $n=1\neq m$.

Antwoord

Het is triviaal dat hij de kluis kan openen voor $m=n=1$ en niet voor $m=1\neq n$ of $n=1\neq m$. We tonen nu aan voor $m>1$ en $n>1$ hij de kluis altijd kan openen.

We kunnen de operaties die we kunnen uitvoeren op de knoppen van de kluis voorstellen door $m\times n$-matrices (een $mn$-dimensionale $\mathbb{R}$-vectorruimte). Bijvoorbeeld: de operatie die we krijgen door een knop op positie $k,l$ te draaien over een willekeurige hoe $\alpha$ is een matrix met op op de $k$-de rij en op de $l$-de kolom $\alpha$ en $0$ elders. 
Het achtereenvolgens uitvoeren van 2 dergelijke komt overeen met de som nemen van de matrices.

Stelt men $\tau_{iklj}=\delta_{ik}+  \delta_{lj}-\delta_{ik}\delta_{lj}$ dan is de operatie die we krijgen door een knop op positie $k,l$ te draaien een veelvoud van de matrix $T_{kl}=(\tau_{iklj})_{ij} $.

Stel $T=\{T_{kl}|1\leq k\leq m,\; 1\leq l\leq n\}$. De span van $T$ is de ruimte van alle opertaties die we kunnen uitvoeren.

Zij $g,h$ de plaats van een willekeurige knop. Het volstaat nu om aan te tonen dat elke veelvoud van $E_{gh}=(\delta_{ig}\delta_{hj} )_{ij}$ (de rotatie van een kop op positie $g,h$ waarbij met alle andere knoppen niks gebeurt) een element van $\langle T \rangle$ is.

Zij $J=(1)_{ij}$ een matrix met enkel enen. $J\in  \langle T \rangle$ want $\sum_{k,l} T_{kl} = (m+n-1)J$.
Zij $R_g=(\delta_{ig})_{ij}$ een matrix met enen op de $g$-de rij en 0 elders. Dan $R_g \in \langle T \rangle$ want $\sum_{l} T_{gl}\;-J = (n-1)R_g\text{ en }n-1\neq0.$
Zij $K_h=(\delta_{hj})_{ij}$ een matrix met enen op de $h$-de kolom en 0 elders. Dan $K_h \in \langle T \rangle$ want $\sum_{k} T_{kh}\;-J = (m-1)K_h\text{ en }m-1\neq0.$
Nu kunnen we inzien dat   $E_{gh}\in\langle T \rangle$ want $E_{gh} = R_g+K_h-T_{gh}$.