10. De ongelijkheid van Cauchy-Bunyakovski-Schwarz

Stellingen top 10

De ongelijkheid van Cauchy-Bunyakovski-Schwarz is een ongelijkheid over het inproduct tussen vectoren. Meerbepaald, geldt voor twee vectoren $x$ en $y$ in een inproductruimte

$$|\langle x,y \rangle| \leq \langle x,x \rangle \langle y,y \rangle.$$

Als we kijken naar de euclidische ruimte $\mathbb{R}^n$ krijgt deze ongelijkheid een aanschouwelijkere vorm. Voor willekeurige reële getallen $x_1, \ldots, x_n$ en $y_1, \ldots, y_n$ geldt steeds

$$\left(\sum_{i=1}^n x_iy_i \right)^2 \leq \left(\sum_{i=1}^n x_i^2 \right) \left(\sum_{i=1}^n y_i^2 \right).$$

Er zijn verscheidene belangrijke en bekende ongelijkheden in de wiskunde. De driehoeksongelijkheid (die een eervolle vermelding heeft gekregen) is de meest fundamentele, maar ook de meest triviale. Er zijn nog de AM-GM ongelijkheid tussen het rekenkundig en meetkundig gemiddelde, de ongelijkheid van Jensen, van Chebyshev, van Minkowski en nog vele, vele andere. Maar de ongelijkheid die de kroon spant is deze van Cauchy-Bunyakovski-Schwarz (vanaf nu CBS). Deze werd in 1821 door de Fransman Augustin Cauchy ontdekt voor sommen. De Rus Viktor Yakovlevich Bunyakovski formuleerde ze in 1859 in een algemener geval en later ook Hermann Amandus Schwarz (zonder 't') in 1888. In de literatuur wordt de naam Bunyakovski vaak (onterecht) vergeten.

Overal waar er kwadraten van getallen opduiken, duikt CBS op. Ze wordt vooral in de analyse zeer vaak gebruikt, waar inproductruimten schering en inslag zijn. Bijvoorbeeld is ze cruciaal in het bewijs van de driehoeksongelijkheid in inproductruimten. Ze ligt aan de basis van het veralgemeende onzekerheidsprincipe van Heisenberg, fundamenteel in de kwantummechanica. Ook de statistiek is er niet vrij van, want ongelijkheden tussen varianties en covarianties maken veelal gebruik van CBS.

CBS is een elegante ongelijkheid, een toonbeeld van wiskundige poverheid. Niet teveel tierlantijntjes, gewoon recht door zee en bruikbaar voor zijn doel. Schoon in zijn eenvoud en altijd tot de dienst van elke wiskundige. En elke wiskundige is dankbaar dat ze er is, want ze laat haar aanwezigheid zeer goed voelen. Zonder CBS zou de analyse één van zijn belangrijkste ledematen verliezen. Een amputatie waarna ze genoodzaakt zou zijn in een rolstoel verder te rijden. De elegantie van CBS zorgt er trouwens voor dat de versie voor $\mathbb{R}^n$ regelmatig opduikt in problemen van olympiades.

Lees verder - Stelling 9