9. Tertium non datur

Stellingen top 10

Tertium non datur oftewel de wet van de uitgesloten derde is het logische principe dat zegt dat voor elke uitspraak $P$, ofwel $P$ ofwel $\neg P$ (niet $P$) geldig is. Elke uitspraak is dus ofwel waar, ofwel vals.

Brouwer

Niemand zal ontkennen dat tertium non datur een principe van niet te onderschatten belang is voor de klassieke wiskunde. Heel veel bewijzen maken gebruik van de zogenaamde techniek van het bewijs uit het ongerijmde en deze steunt essentieel op tertium non datur. Zonder dit principe valt een groot deel van de wiskunde gewoon weg en andere moeten serieus herzien worden.

Wat echter wel velen zullen ontkennen, is dat tertium non datur voldoet aan de criteria om überhaupt in deze lijst terecht te komen, meerbepaald lijkt dit logische principe voor zeer veel mensen bijzonder triviaal of zelfs a priori gegeven. Ofwel is iets waar, ofwel is het niet waar, mogen we dit wel een “stelling” noemen? Andere kritische zielen kunnen opmerken dat tertium non datur niet behoort tot de wiskunde, maar de logica. Hoewel de scheidingslijn tussen wiskunde en logica verre van duidelijk is, raden we hen aan te doen alsof deze paragraaf over de wiskundige techniek van het 'bewijs uit het ongerijmde' handelt.

Wat tertium non datur echter onderscheidt van andere gelijkaardige logische principes is de Nederlandse wiskundige en filosoof Luitzen Egbertus Jan Brouwer. Meerbepaald besloot hij in het begin van de twintigste eeuw na lang nadenken dat het principe tertium non datur helemaal niet thuishoort in het logische pakket waar de wiskunde gebruik van maakt. Onvoorwaardelijk toepassen van tertium non datur leidt volgens hem tot onzinnige, absurde wiskunde (meerbepaald gaat het hier vooral over de oneindige verzamelingenleer). En de daad bij het woord voegend ontwierp hij een volledig nieuwe wiskunde waarin tertium non datur samen met enkele andere zaken niet gebruikt wordt, de zogenaamde intuïtionistische wiskunde. Eén van de achterliggende ideeën is dat elk wiskundig object construeerbaar moet zijn. Tertium non datur zondigt hier tegen door niet-constructieve existentiebewijzen logisch te onderbouwen.

Het is door het succes van deze intuïtionistische wiskunde dat tertium non datur niet langer als een triviaal principe gezien mag worden. Want dit is lange tijd een zeer populaire stroming geweest en ook nu wordt er nog onderzoek naar gedaan. Even leek het zelfs alsof de intuïtionistische wiskunde mogelijks de klassieke wiskunde zou verdringen. Uiteindelijk hebben enkele grote wiskundigen, voornamelijk David Hilbert, ervoor gezorgd dat dit toch niet gebeurde, door zeer expliciet in te gaan tegen deze nieuwe stroming. Desalniettemin heeft Brouwer aangetoond dat wiskunde zonder tertium non datur zeer deugdelijk en doeltreffend kan zijn. Dit principe, dat over de ganse wiskunde gebruikt wordt, verdient dus zeker en vast een plaats in onze lijst.

Lees verder - Stelling 8