4. De hoofdstelling van de rekenkunde

Stellingen top 10

Priemgetallen zijn natuurlijke getallen die geen echte delers hebben. Ze zijn dus niet op te splitsen in het product van twee andere getallen verschillend van 1. Getallen die geen priemgetal zijn hebben deze eigenschap wel. Je kan ze schrijven als het product van twee echte delers. Zo is $78$ bijvoorbeeld gelijk aan $6 \cdot 13$, maar $13$ is een priemgetal en niet verder op te delen. $6$ kan wel nog geschreven worden als $2 \cdot 3$. Dus uiteindelijk schrijven we $78$ als $2 \cdot 3 \cdot 13$, een product van drie priemgetallen. De fundamentele stelling van de rekenkunde zegt nu dat voor elk natuurlijk getal, deze opdeling in een product van priemgetallen bestaat en uniek is. Vooral die uniciteit is van belang. Elk natuurlijk getal kan op slechts één manier geschreven worden als een product van priemgetallen.

Rekenen is in elk mensenleven de eerste kennismaking met wiskunde. Dagenlang laten moeders hun peuters luidop de getallen één tot en met tien opzeggen totdat deze zodanig in hun hersenen geramd zijn dat ze ze op willekeurige momenten kunnen reciteren zonder enig idee te hebben van de betekenis ervan. Dit is de eerste aanraking met de verzameling $\mathbb{N}$ van de natuurlijke getallen, de fundamenteelste verzameling uit de wiskunde. Leopold Kronecker zei ooit dat God de natuurlijke getallen heeft geschapen en dat de rest mensenwerk is.

Of God daadwerkelijk de natuurlijke getallen geschapen heeft laten we in het midden, maar het staat vast dat deze een prachtige structuur bezitten. Het volgende dat onze peuter zal leren, vermoedelijk is hij dan al een kleuter, is tellen. Doorheen zijn leven als jonge mens zal hij achtereenvolgens kennismaken met optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. En via dit delen wordt het begrip priemgetal geïntroduceerd. Want niet elk getal kan gedeeld worden door elk ander getal, iets wat wel geldt voor die andere operaties. Elk getal heeft zijn eigen verzameling delers, en is op unieke wijze te schrijven als het product van priemgetallen.

Uniek zeggen we, schijnbaar zonder pauzeren, zonder enige nadruk of aarzeling. Maar aarzeling en zeker nadruk zijn hier bijzonder op hun plaats. Want het feit dat elk getal een uniek product is van priemgetallen, de hoofdstelling van de rekenkunde, is verre van triviaal. Het is een eigenschap die niet universeel is, andere wiskundige structuren die veralgemeningen zijn van de natuurlijke getallen (ringen is hun naam) voldoen hier niet altijd aan. En eenmaal men erover nadenkt, blijkt dat deze fundamentele eigenschap, die bijzonder natuurlijk lijkt, eigenlijk helemaal niet zo voor de hand liggend is.

We mogen dan ook van geluk spreken dat de natuurlijke getallen, de getallen die uit de wereld af te lezen zijn, zo'n prachtige structuur bezitten, zo haarfijn opgebouwd zijn. Het zorgt dat ze eenvoudig zijn om mee te werken, een onontbeerlijke eigenschap. Want de natuurlijke getallen vormen het gereedschap voor de schrijnwerkers die wiskundigen zijn. Zij zijn het werktuig dat overal gebruikt wordt, de hamer waarmee de planken van elke theorie in elkaar getimmerd worden. En goed gereedschap is alles voor een werkman. Zonder goed gereedschap geen stevige pijlers om theorieën te ondersteunen, geen boekenkasten om informatie te bundelen en geen bed om over nieuwe ontdekkingen te dromen.

De natuurlijke getallen worden altijd en overal gebruikt, en de hoofdstelling van de rekenkunde duikt impliciet op op de meest onverwachte plaatsen, laat steeds weer merken hoe cruciaal ze is. Bijvoorbeeld zou de ganse groepentheorie, waar unieke factorisatie van de ordes van groepen zeer belangrijk is, onherstelbaar gemutileerd worden. Bibliotheken vol wiskunde zouden in de open haard vliegen, ganse theorieën vernietigd of aan (bijzonder lastig) herschrijven toe. Net wanneer men denkt even aan deze stelling ontsnapt te zijn, wanneer men denkt een rivier over te steken naar een heilig land waar ze niet nodig is, niet langer onmisbaar is, staat ze plots voor je neus, met gekruiste armen, om je erop te wijzen dat de brug onder je voeten onmiddellijk zou instorten mocht zij ze niet ondersteunen.

Lees verder - Stelling 3