5. Het keuzeaxioma

Stellingen top 10

Het keuzeaxioma is één van de axioma's uit de verzamelingenleer. Stel dat we een willekeurig aantal nietlege verzamelingen krijgen. Dan, zegt het keuzeaxioma, bestaat een verzameling $Y$, die uit elk van deze verzamelingen precies één element bevat. Krijgen we dus een willekeurig aantal dozen die niet leeg zijn, dan kunnen we uit elke doos een voorwerp kiezen en deze allemaal samen in een nieuwe doos steken.

Een axioma is een wiskundige uitspraak, stelling zo je wil, die als waar aangenomen wordt. Axioma's vormen de basis van elke wiskundige theorie. In het bijzonder is de verzamelingenleer, die momenteel als de meest fundamentele theorie uit de wiskunde wordt gezien, opgebouwd uit axioma's, namelijk deze van de Duitser Ernst Zermelo en de Israeliër Abraham Fraenkel uit het begin van de 20ste eeuw.

Hoe dan, kan het, dat een axioma van deze verzamelingenleer opgenomen wordt in deze ranglijst? Hoe kan een axioma, een beschrijving van het begrip 'verzameling', zo beroemd, belangrijk en berucht zijn? Het is natuurlijk belangrijk als één van de axioma's van de verzamelingenleer, maar dit belang voelt nogal hol aan. We zouden immers maar een flauwe top 10 hebben mochten we gewoon de axioma's van de verzamelingenleer opnoemen. Bovendien gebruiken de meeste wiskundigen bij het bespreken van verzamelingen gewoon hun intuïtie, het overgrote deel is helemaal niet in staat de axioma's van Zermelo en Fraenkel op te noemen. Maar ze zijn allemaal in staat om het keuzeaxioma te formuleren. Misschien is er dus toch iets speciaals met dit axioma?

Reken maar van yes. Het keuzeaxioma is precies dat axioma dat de intuïtie over verzamelingen opheft naar een hoger domein, dat de verzamelingenleer zijn ongeëvenaarde kracht geeft. Dit axioma gaat veel verder dan verzamelingen van een paar appels en wat koeien, het plaveit het pad naar de hogere regionen van het paradijs van Cantor. Het is dan ook vooral (en misschien zelfs enkel) van belang binnen de zuivere wiskunde. Elke vectorruimte heeft een basis, de additiviteit van de Lebesguemaat, de stelling van Hahn-Banach, dit zijn enkele resultaten die zo broodnodig zijn en die te danken zijn enkel en alleen aan het keuzeaxioma.

Maar het keuzeaxioma is ook berucht, zeer berucht. Het komt namelijk met een prijs. Hoewel het zelf zeer intuïtief is (waarom zouden we uit dozen geen objecten kunnen nemen?) en toelaat resultaten te bewijzen die intuïtief zonder meer als correct overkomen, laat het ook toe resultaten te bewijzen die intuïtief compleet absurd zijn. Het meest aanschouwelijke hiervan is de Banach-Tarski paradox. Men kan, met gebruik van het keuzeaxioma, bewijzen dat het mogelijk is om een driedimensionale bol in een eindig aantal stukken te verdelen en deze dan terug aan elkaar te plakken (enkel via rotaties en verschuivingen) tot twee identieke kopieën van de oorspronkelijke bol. Een paradox van de zuiverste soort die iedereen om de oren slaat.

En het zijn dergelijke contra-intuïtieve aspecten van het keuzeaxioma die het een controversiële rol toegediend hebben. Hoewel het de dag van vandaag door de mainstream wiskundigen zonder reservatie gebruikt wordt, was het in zijn begintijd, toen Zermelo het in 1904 formuleerde, veel controversiëler. Er waren toen verscheidene wiskundigen die het niet tot de wiskunde rekenden en het dan ook niet gebruikten, of enkel een afgezwakte versie gebruikten.

Zo ontstond een duidelijke strijd tussen twee kampen. Voor de ene is elk axioma aanvaardbaar, wat echt van belang is zijn de gevolgen die eruit afgeleid worden. Je afvragen of een axioma waar of vals is, is volgens hen zinloos en irrelevant. Anderen daarentegen, hechten meer waarde aan onze intuïtie en zien de wiskunde als een verlengde van deze intuïtie. Wanneer een axioma resultaten oplevert die er lijnrecht tegenin gaan, is er iets mis en moet het aangepast worden of is het onzin. Voor hen is de Zermelo-Fraenkel verzamelingenleer geen weerspiegeling van het intuïtieve begrip 'verzameling'. Ze bevat wel de intuïtieve verzamelingen, maar ook nog vele andere 'objecten' en ontaardt hiermee in een decadente droomwereld.

Lees verder - Stelling 4