6. De stelling van Cantor

Stellingen top 10

Een verzameling $X$ heet aftelbaar indien het mogelijk is een rij $x_0, x_1, x_2, \ldots$ op te schrijven waarin elk element van $X$ voorkomt. Van een aftelbare verzameling kan je alle elementen dus na elkaar opsommen (ook al duurt dit oneindig lang). De verzameling $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots \}$ van de natuurlijke getallen is bijvoorbeeld aftelbaar. Als dit niet mogelijk is, noemen we $X$ overaftelbaar. Dit betekent dat, in elke dergelijke opsomming, er steeds een element over het hoofd gezien wordt. De stelling van Cantor zegt nu dat $\mathbb{R}$, de verzameling van alle reële getallen, overaftelbaar is. Het is onmogelijk om alle reële getallen na elkaar op te sommen.

Nu begint het stilaan menens te worden. Deze stelling is de fundamenteelste stelling van de ganse verzamelingenleer en is zo beroemd dat elke zichzelf respecterende wiskundige het bewijs van binnen en van buiten kent. De gebruikte techniek heeft zelfs een naam gekregen, het 'diagonaalargument'. Hoewel dit bewijs zeer ingenieus en bovendien makkelijk te begrijpen is, gaan we hier nu niet dieper op in. De geïnteresseerden raden we een korte zoektocht op het internet aan.

Georg Cantor.

Georg Cantor.

Eerst en vooral merken we op dat deze stelling ook de reden is dat één van onze eervolle vermeldingen, namelijk de dichtheid van $\mathbb{Q}$ in $\mathbb{R}$, van zo'n fundamenteel belang is voor de wiskunde, vooral voor de analyse. Het is precies omdat $\mathbb{R}$ overaftelbaar is, dat de dichtheid van $\mathbb{Q}$ in $\mathbb{R}$ zo bijzonder nuttig is, want $\mathbb{Q}$ is wel aftelbaar.

Het zou verkeerd zijn om deze stelling belangrijk te noemen. Ze is niet belangrijk, ze is onvermijdelijk, onoverkoombaar, er valt niet aan te ontsnappen. De wiskunde was veel eenvoudiger geweest indien $\mathbb{R}$ wel aftelbaar was, en het feit dat dit niet zo is laat zijn gevolgen voelen van de hoogste toppen tot de diepste dalen. Toen de Duitser Georg Cantor dit resultaat ontdekte op het einde van de 19e eeuw, ontkrachtte hij voor het eerst in de geschiedenis het idee dat elke twee oneindige verzamelingen even groot zijn. Dit zou een historisch breekpunt worden voor de wiskunde.

Inderdaad, wat deze stelling eigenlijk duidelijk maakte is dat het concept 'oneindig', zelf oneindig vele vormen kan aannemen. Er is niet één soort oneindigheid. Neen, de oneindige verzamelingen zijn zelf ook gerangschikt van klein naar groot, en het aantal oneindigheden is op zijn beurt oneindig. Met deze stelling is dan ook de verzamelingenleer van Cantor geboren, en dit is niet onopgemerkt voorbijgegaan. De vele paradoxen waartoe ze aanleiding gaf en de extreme abstractheid van haar materie hebben decennia lang voedingsbodem gegeven aan zeer diepe en fundamentele discussies. We hebben het hier over de zogenaamde grondslagencrisis aan het begin van de 20e eeuw. Ook het reeds vermelde intuïtionisme keerde zich af van deze bijna decadente verzamelingenleer.

Het zou ons te ver leiden om dieper in te gaan op alle ontwikkelingen die deze stelling teweeggebracht heeft. Maar het mag duidelijk zijn dat deze stelling, de stelling van Cantor, niet zomaar een stelling is. Voor sommigen is het een monster, een duivel, een demoon, voor anderen is het de poort naar een wiskundig paradijs, de tuin van Eden die de verzamelingenleer is. Welke visie men er ook op nahoudt, dit is een stelling die niemand onberoerd laat. Aus dem Paradies, das Cantor uns geschaffen, soll uns niemand vertreiben können, zei de grote Duitse wiskundige David Hilbert. Niemand zal ons kunnen verdrijven uit het paradijs dat Cantor voor ons geschapen heeft.

Lees verder - Stelling 5