7. De laatste stelling van Fermat

Stellingen top 10

De laatste stelling van Fermat zegt dat als $a, b, c, n$ natuurlijke getallen zijn die voldoen aan de vergelijking $a^n + b^n = c^n$, dat dan $n \leq 2$. Met andere woorden, de vergelijking $a^n + b^n = c^n$ heeft geen oplossingen $(a,b,c)$ als $n > 2$. Er bestaan geen natuurlijke getallen $a, b, c$ zodat $a^3 + b^3 = c^3$ of $a^4 + b^4 = c^4$ of $a^5 + b^5 = c^5$, enzovoort. Voor $n = 2$ (en natuurlijk ook $n = 1$) bestaan er wel zo'n getallen, bijvoorbeeld $3^2 + 4^2 = 5^2$ of $5^2 + 12^2 = 13^2$.

Laat ons eventjes een minuut stilte houden voor de vele wiskundige inspanningen die gesneuveld zijn bij het proberen bewijzen van de laatste stelling van Fermat. Deze stelling is de onbetwistbare leider in het weerstaan van elke poging tot bewijs. Ze werd geformuleerd door de Fransman Pierre de Fermat in 1637. Hij schreef ze als vermoeden in de kantlijn van een boek dat hij aan het lezen was, gebruikmakend van volgende legendarische woorden.

Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.

Ik heb een waarlijk prachtig bewijs ontdekt dat het onmogelijk is om een derdemacht te scheiden in twee derdemachten, of een vierdemacht in twee vierdemachten, of algemeen, elke macht hoger dan twee in twee gelijke machten. Deze kantlijn is echter te klein om het te bevatten.

En zo raakte de bal aan het rollen. En hij zou blijven rollen, rollen, en rollen. Eeuwenlang hebben wiskundigen van de meest uiteenlopende genialiteit en expertise geprobeerd deze stelling te bewijzen, tevergeefs. Elke poging bleek nutteloos, ontelbare bewijzen zijn in de vuilbak gevlogen omdat ze uiteindelijk toch een fout bleken te bevatten. En dit ging zo maar door tot, uiteindelijk, in het jaar 1993, de Britse wiskundige Andrew Wiles totaal onverwacht in een lezing zijn bewijs uiteenzette. Ironisch genoeg bleek ook dit een fout te bevatten maar ruim een jaar later werd dan uiteindelijk een correct bewijs van de laatste stelling van Fermat gepubliceerd. Wiles werd hiervoor prompt de Fields-medaille aangereikt.

En wat een bewijs is het. Het beslaat meer dan 100 pagina's en gebruikt diepgaande theorieën uit de algebraïsche meetkunde en de getaltheorie. De lijst van wiskundigen wiens resultaten in dit bewijs gebruikt worden is waarlijk indrukwekkend. Het is niet echt mogelijk om de onvoorstelbare evolutie te schetsen die deze stelling doorheen de eeuwen heeft doorgemaakt, noch is het mogelijk een overzicht te geven van al het wiskundig onderzoek dat ze geïnspireerd heeft. Maar we kunnen met zekerheid stellen dat ze zeer, zeer stimulerend heeft gewerkt voor een veelheid aan wiskundig onderzoek. Als een dolle hond achtervolgde ze de wiskundigen, die zo snel mogelijk moesten voortwerken om niet vermorzeld te worden.

De laatste stelling van Fermat in de Simpsons

Zo berucht is de laatste stelling van Fermat, dat ze zelfs tot tweemaal toe opduikt in de animatiereeks 'The Simpsons'. In de aflevering 'Treehouse of Horror VI', wanneer Homer Simpson in een driedimensionale realiteit terechtkomt, lezen we dat $1782^{12} + 1841^{12} = 1922^{12}$. In de aflevering 'The Wizard of Evergreen Terrace' zien we de gelijkheid $3987^{12} + 4365^{12} = 4472^{12}$ opduiken. Het is interessant om op te merken dat beide zeer goede benaderingen zijn, maar ontkracht worden door eenvoudige deelbaarheidsregels.

Lees verder - Stelling 6